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如何用一案例说明弗赖登塔尔数学化过程

归档日期:08-05       文本归类:德赖登      文章编辑:爱尚语录

  弗赖登塔尔 1.3 数学化 1.3.1 术语 在讨论了数学的前后关系和内外结构之后,我们再回过头来把数学当成一种活动,来看看它的一个主要 特征:数学化。是谁最先使用这个术语,用以描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性的这种过程呢?这 种术语通常是先出现在非正式的谈话和讨论中, 而后才出现在文献著作里, 因此没有人能说出是谁的发明。 不管怎么说,数学化是一个过程,只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化,这个过 程就在持续着,这些因素也包括数学,而且数学反过来被变化着的现实所吸收。 以前用的术语,诸如公理化、形式化、图式化等也许是在数学化之前提出的,其中公理化也许是在数学 的行文中出现得最早。公理和公式古已有之,尽管在岁月的长河中,公理(或公设)的意义及公式的形 式有所改变.过去几个世纪里,人们认为欧几里得的几何原本不是完美推导的典范,其原意也并非如此,看 来今天有人仍这么认为。我们现在使用的公理体系这个术语,是一种现代思想,把它归为古希腊人的功劳 (虽然他们是先驱)是一种时代的错误。然而,重新组合某一领域的知识,以至于结论被当作出发点,以 及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的定义--这种颠倒的构造是一种久远的数学活动, 它和古希腊 数学一样古老,或许更古老;尽管只是到了近代,人们才像热衷于知识的组织和重组的古希腊人那样,有 意识地、 有条理地、热切地运用它。 今天雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。 这种技术就叫公理化。它被现代的数学家深刻地理解和掌握。它早期显著的例子是群。18 世纪以来,数学 家们遇到了集合到自身映射的问题,映射通常由一些不变性质去限制,从而导致去构造这种映射。这样他 们开始熟悉了变换的集合,在构造之下自动地满足一些熟知的假设,这种假设是后来群所需要的。1854 年 凯莱(Cayley)用这些假设统一定义了这种(有限)的对象,他称作群。然而,直到 1870 年这一新概念才 被一些领头创造的数学家们完全认可。之后又用到无限基的情况。在日常生活和符号语言中,公式是像公 理一样古老, 甚或更古老的一种特殊形式。 用日益有效的符号或符号法来改进语言表达是一个长期的过程, 它首先涉及到数学题材,后来才影响到表述这种题材所用的语言。这种对语言的整理、修正和转化的过程 就叫做形式化。

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